Functional Analysis

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By Claudio Canuto, Anita Tabacco (auth.)

Il presente testo intende essere di supporto advert un secondo insegnamento di Analisi Matematica in quei corsi di studio (quali advert esempio Ingegneria, Informatica, Fisica) in cui lo strumento matematico parte significativa della formazione dell'allievo.

I concetti e i metodi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale in più variabili, le serie di funzioni e le equazioni differenziali ordinarie sono presentati con l'obiettivo primario di addestrare lo studente advert un loro uso operativo, ma critico. L'impostazione didattica dell'opera ricalca quella usata nel testo parallelo di Analisi Matematica I. l. a. modalit`di presentazione degli argomenti ne permette un uso flessibile e modulare. Lo stile adottato privilegia l. a. chiarezza e l. a. linearit`dell'esposizione. Il testo organizzato su due livelli di lettura. Uno, più essenziale, permette allo studente di cogliere i concetti indispensabili della materia, di familiarizzarsi con le relative tecniche di calcolo e di trovare le giustificazioni dei principali risultati. L'altro, più approfondito e basato anche sullo studio del materiale presentato nelle appendici, permette all'allievo maggiormente motivato ed interessato di arricchire los angeles sua preparazione. Numerosi esempi corredano e illustrano le definizioni e le propriet`di volta in volta enunciate. Viene fornito un cospicuo numero di esercizi, tutti con los angeles relativa soluzione. consistent with oltre l. a. met`di essi si delinea in modo completo il procedimento risolutivo.

Questa nuova edizione si presenta arricchita di contenuti rispetto alla precedente in modo da rispondere alle different possibili scelte didattiche nell'organizzazione di un secondo corso di Analisi Matematica.

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A tale scopo, fissiamo ε > 0. Per i), esiste n1 = n1 (ε; x0 ) ≥ n0 tale che per ogni n > n1 si ha ε |fn (x0 ) − f (x0 )| < . 2 Per ii), esiste n2 = n2 (ε) ≥ n0 tale che per ogni n > n2 e per ogni t ∈ [a, b], si ha ε |fn (t) − g(t)| < . 2(b − a) Osserviamo che possiamo scrivere ogni funzione fn nella forma x fn (x) = fn (x0 ) + fn (t) dt , x0 ci` o segue dal Teorema fondamentale del calcolo integrale (si rimanda al Vol. I, Cor. 42). Dunque, per ogni n > n = max(n1 , n2 ) e per ogni x ∈ [a, b], risulta x |fn (x) − f˜(x)| = fn (x0 ) − f (x0 ) + fn (t) − g(t) dt x0 x ≤ |fn (x0 ) − f (x0 )| + fn (t) − g(t) dt x0 < ε ε + 2 2(b − a) b dt = a ε ε + = ε.

K Se α = n ∈ N, la serie `e in realt` a una somma finita e, per la formula del binomio di Newton (Vol. I, Eq. 13)), vale n k=0 n k x = (1 + x)n ; k ci` o ne giustifica il nome. Studiamo dunque il caso α ∈ R \ N. Notiamo che α k+1 α k = k! |α − k| |α(α − 1) · · · (α − k)| · = ; (k + 1)! |α(α − 1) · · · (α − k + 1)| k+1 pertanto α k+1 α k |α − k| =1 k+1 e dunque la serie ha raggio di convergenza R = 1. Il comportamento della serie negli estremi non pu`o essere studiato con i criteri qui presentati; la serie converge in x = −1 solo per α > 0 e in x = 1 solo per α > −1.

K b) Si tratta di una serie a segni alterni con bk = 2k! Si ha immediatamente lim bk = 0; inoltre risulta bk+1 < bk per ogni k > 1 in quanto k→∞ bk+1 = 2k 2k+1 < = bk (k + 1)! k! ⇐⇒ 2 <1 k+1 ⇐⇒ k > 1. 01 . 315 Pertanto il minimo numero di termini necessari `e n = 7. c) n = 5. 32 1 Serie numeriche 14. Studio della convergenza assoluta di serie: a) Si ha convergenza semplice ma non assoluta. 20, mentre la serie dei valori assoluti `e una serie armonica generalizzata con esponente α = 13 < 1. b) Non converge.

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