Functional Analysis

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By Prof. Dr. Klaus Jänich (auth.)

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Für den allgemeinen Fall wenden wir Satz 10 an und dürfen also f(z) = (h(z))k voraussetzen, wobei h holomorph mit h(O) = 0, h' (0) ~ o. h. es gibt offene Umgebungen U und V von 0 so daß h/U: U ~ V bijektiv, holomorph und (h/U)-1 ebenfalls holomorph ist. Ist nun e > 0 so klein, daß {~//~/ < Ve} C V liegt, so hat (h/U)-1{~/ /~/ < \'e} =: Uo die gewünschte Eigenschaft: z u f (z ) wf/\ ) U 49 Dieser zunächst etwas technisch anmutende Satz hat weitreichende Konsequenzen. Als erste nenne ich den "Identitätssatz".

In seiner einfachsten Form, deren Beweis aber schon die ganze Idee enthält, lautet der Cauchysche Integralsatz so: Cauchyscher Integralsatz für ein Rechteck: Sei U C C offen, f: U ~ C holomorph, Q ein ganz in U gelegenes abgeschlossenes achsenparalelles Rechteck 23 und y eine den Rand aQ von Q einmal (im mathematisch positiven Sinne) durchlaufende Kurve, die stückweise C1 ist. Dann ist f f(z)dz = 0 y Beweis: Man beweist diesen Satz zuerst für zwei triviale Spezialfälle: 1. Fall: f stets f dz a = 1.

Für r ~ 1 sehen wir: Ig(z) I =::1 für alle z: Das ist der erste Teil der Behauptung. Tritt das Gleichheitszeichen ein, so ist irgendwo Ig(z) I = 1, nach dem Ma'e ie ximumprinzip ist also g(z) = const. = e 1 , also f(z) = ze qed. * § 5. Isolierte Singularitäten Definition: Ist U c ~ offen, Zo E U und f: U'zo ~ ~ ho- lomorph, so heißt Zo eine isolierte Singularität von f. * Man unterscheidet drei Typen von isolierten Singularitäten: Hebbare Singularitäten: Pole: 54 Wesentliche Singularitäten: Definition: Zo heißt hebbare Singularität, wenn sich f durch geeignete Festsetzung von f{zo) zu einer holornorphen Funktion auf ganz U fortsetzen läßt.

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